אודה לך מאד באם תואיל להעלותם כקבצים לטובת החסומים
האם קו ישר הוא תמיד המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות?נכתב על ידי Piyush Patel עודכן לאחרונה בתאריך: 22 בינואר 2022
תוכן עניינים (לחץ להרחבה)
לא, קו ישר הוא לא תמיד המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות. המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות תלוי בגיאומטריה של העצם/המשטח המדובר. עבור משטחים שטוחים, קו הוא אכן המרחק הקצר ביותר, אך עבור משטחים כדוריים, כמו כדור הארץ, מרחקי מעגלים גדולים מייצגים למעשה את המרחק הקצר ביותר האמיתי.
את כולנו לימדו כבר בגיל צעיר ש'קו הוא המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות'. עם זאת, מה אם מישהו היה אומר לך שהפתגם הוותיק הזה לא בדיוק נכון - האם המציאות שלך תוכל להתמודד עם זה?
כפי שמתברר, האמירה נכונה רק בחלקה. המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות תלוי למעשה בגיאומטריה של העצם הנדון.
אם היינו חיים על כדור הארץ שטוח ( מה שאין לנו ) אז כן, קו ישר היה המרחק הקצר ביותר בין נקודות A ו-B. עם זאת, כדור הארץ הוא כדור משוער, והמרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות על הנקודה. פני השטח של כדור הוא קשת המכונה 'מרחק המעגל הגדול'.
האם קו ישר הוא תמיד המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות?
אם ברצונך לקנות/להעניק רישיון לסרטון זה, אנא כתוב לנו בכתובת
admin@scienceabc.com.
מרחק מעגל גדול
מרחק עיגול גדול אינו מושג חדש; למעשה, רבים מכם כבר ראו את זה בפעולה.
אנשים שנסעו בטיסה או בדקו רק מסלולי טיסה, כנראה שמו לב שהטיסות אינן עוקבות אחר נתיב ישיר, אלא לוקחות מסלול מעוקל ליעדם. המסלולים המעוקלים אינם משמשים כדי לחפור בור עמוק יותר בכיסיו של הנוסע, אלא משמשים כי הם למעשה המרחק הקצר ביותר בין כל שני מיקומים נתונים על הפלנטה שלנו.
המסלולים המעוקלים האלה מבלבלים לעתים קרובות, שכן המסלולים מתוארים על מפה דו-ממדית שטוחה, שבה קו ישר עשוי להיראות כמרחק הקצר ביותר. עם זאת, אף מפה דו-ממדית של כדור הארץ אינה מדויקת. אפילו לא זה שגדלנו ללמוד, וזה אותו הדבר כפי שהיית מוצא בגוגל מפות.
כדי לתת לך את התמצית, כדור הארץ האהוב שלנו הוא מרחב תלת מימדי ומיוצג בצורה הטובה ביותר באמצעות מודל גלובוס. עם זאת, כאשר מנסים לשטח את הכדור לצורה מלבנית, כפי שעושות רוב המפות, הדילמה עתיקת היומין של עיוות מגיעה לאור הזרקורים. רוב המפות המלבניות סוחרות בצורות, גדלים, מרחק ביניים ואפילו מידע לגיטימי כדי להקל על ההבנה. לפרטים נוספים על עניין זה, קרא מה לא בסדר בכל המפות שלנו?
כאשר אתה מבין שכל המפות של כדור הארץ אינן נכונות.
תארו לעצמכם שאתם רוצים לטוס ממעמקי העכברושים של העיר ניו יורק לעיר האהבה, פריז. על כדור הארץ, המרחק הקצר ביותר בין שתי הערים יהיה קשת של כ-3,630 מיילים, אך אותה קשת, כשהיא מוקרנת על מפה דו-ממדית, הופכת לקו ישר בגודל של כ-3,750 מיילים.
כדי לאשר זאת בעצמך, פתח את מפות גוגל בלשונית סמוכה וחפש את ניו יורק. לאחר שנמצא, לחץ לחיצה ימנית על תג השם ובחר "מדוד מרחק". לאחר מכן, התרחק או גלול מעט ימינה כדי למצוא את פריז ולחץ עליה. המרחק הבא יהיה עקומה, המייצגת את המרחק הקצר ביותר בין שתי הערים. לחץ במקום כלשהו על העקומה הזו כדי ליצור מסגרת מפתח וגרור אותה מעט לכיוון דרום כדי להמיר את העקומה לקו ישר. אתה יכול לעשות שימוש במספר מסגרות מפתח כדי ליצור קו ישר כלשהו בין שני המיקומים. בסיום השווה את ממדי העקומה והקו הישר (והתכונן שהמציאות שלך תתנפץ!).
מפת כדור הארץ מרחק עיגול גדול לעומת מרחק קו ישר
מרחק עיגול גדול לעומת מרחק קו ישר
ההבדל בין שני המספרים (3,750 - 3,630 = 120 מייל) אולי לא נראה כמו עניין גדול, אבל בהתחשב בעובדה שמטוס בואינג 747 צורך בממוצע 5 ליטר דלק לכל מייל טיסה (מקור), המטוס ידרוש תוספת נוספת (5 גלונים/מייל × 120 מייל =) 600 גלונים (2250 ליטר) כדי לעבור את המרחק הנוסף, וזה עניין גדול שיוסיף לעלות כרטיסי הטיסה.
קרא גם: מה רע בכל המפות שלנו?
מרחק מעגל גדול במונחים מתמטיים
אם מדברים במונחים מתמטיים גרידא, מעגל גדול (המכונה גם גיאודזיקה של כדורים) הוא כל מעגל המצויר על כדור שמרכזו חופף למרכז הכדור, ובכך מחלק את הכדור לשני חצאים שווים. במילים פשוטות יותר, עיגול גדול הוא העיגול הגדול ביותר שניתן לחצוב מכדור. עיגול קטן, לעומת זאת, הוא כאשר מרכז המעגל והכדור אינם חופפים.
תאר לעצמך (או פשוט בדוק את התמונה למטה) חותך את כדור הארץ לאורך קו המשווה או הקטבים. ההמיספרות המתקבלות בשני המקרים יהיו שוות, ולפנים של ההמיספרות הללו יהיו אותו קוטר ומרכז כמו הכדור (כדור הארץ) עצמו.
קו המשווה של כדור הארץ
חציית כדור הארץ לאורך קו המשווה או הקטבים מביאה למעגלים גדולים.
עבור כל שתי נקודות (מיקומים) לא קוטרליים על כדור (כדור הארץ), קיים רק מעגל גדול אחד ייחודי, ואילו עבור נקודות קוטר על כדור, ניתן לצייר מספר אינסופי של עיגולים גדולים. נקודות אלו מחלקות את המעגל לשתי קשתות; הקשת הקטנה יותר מייצגת את המרחק האמיתי הקצר ביותר בין שתי הנקודות ונקראת מרחק המעגל הגדול.
בתמונה למטה, הנקודות P ו-Q הן שתי נקודות לא קוטראליות והקשת PQ מייצגת את המרחק הקצר ביותר בין השתיים (מרחק עיגול גדול). הנקודות u ו-v, לעומת זאת, ידועות כנקודות אנטי-פודליות או מנוגדות בקוטר, ומחלקות את המעגל הגדול לשתי קשתות זהות.
Arc PQ מייצג את המרחק הקצר ביותר בין שתי הנקודות. (קרדיט צילום: CheCheDaWaff/Wikimedia Commons)
חישוב מרחק עיגול גדול בין שתי נקודות כלשהן על פני הכדור דורש שימוש בטריגונומטריה כדורית, ולמרות שאולי לא הכרנו את קיומם של מרחקי עיגול גדולים עוד בימי בית הספר שלנו, השנאה של כולם לסינוסים וקוסינוסים היא עובדה ידועה.
נוסחת עיגול
כאן, d הוא מרחק המעגל הגדול, r הוא רדיוס הכדור (כדור הארץ) והמונח cos -1 (cos σ 1 .cos σ 2 .cos (λ 1 - λ 2 ) + sin σ 1 .sin σ 2 ) היא הזווית המרכזית המשתרעת על ידי שתי הנקודות בעלות הקואורדינטות σ 1 , λ 1 ו- σ 2 , λ 2 בהתאמה.
קרא גם: כיצד למצוא את רדיוס המעגל?
מילים אחרונות
כפי שצוין קודם לכן, חוגים גדולים מוצאים את היישום העיקרי שלהם בנסיעות למרחקים ארוכים, במיוחד ניווט אווירי וימי. הטבע המעוקל של מרחקי מעגלים גדולים, בתוספת סיבוב של כוכב הלכת שלנו, גורם לטייסים ולימאים להתאים כל הזמן את מסלולם. לכן מרחק עיגול גדול מפורק ל'קווים מרובע', המייצגים כיוון קבוע.
לאחר שאמרתי את כל זה, אפילו מרחקי עיגול גדולים אינם מייצגים את המרחק האמיתי הקצר ביותר בין שני מיקומים נתונים. מרחקי המעגל הגדול מחושבים בהנחה שכדור הארץ הוא כדור מושלם, אבל כוכב הלכת הוא יותר כדור שטוח עם ערכים שונים של רדיוס לכיוון קו המשווה והקטבים. לערכי המעגל הגדול יש אפוא סובלנות של כ-±5%.
עם זאת, מרחקי מעגלים גדולים מילאו תפקיד עצום בנסיעות למרחקים ארוכים במהלך השנים האחרונות וימשיכו לעשות זאת, חוסכים דלק לחברות התעופה וחוסכים כסף למטיילים!