עירובין י"ד ע"ב - ים של שלמה (בירושלמי)

סתם יעקב

משתמש ותיק
בס"ד
חישוב נפח הים של שלמה בתלמוד הירושלמי.
  1. איתא בתלמוד ירושלמי מסכת עירובין פרק א' הלכה ה' :
    א. ויעש את הים מוצק עשר באמה וגו' איפשר לומר עגול שכבר נאמר מרובע איפשר לומר מרובע שכבר נאמר עגול.
    ב. אין תימר עגול נמצאת אומר ק"ס ידות טהרה הוא מחזיק.
    ג. אין תימר מרובע נמצאת אומר ק"כ ושתי ידות טהרה היה מחזיק.
    ד. אמור מעתה שתי אמות העליונות עגולות היו שלש אמות התחתונות מרובעות היו - נמצאת אומר מאה וחמשים ידות טהרה היה מחזיק.
  2. מטענה 1א נובע כי הים אמור להיות גם ריבוע וגם מעגל, שהרי כתוב בדברי הימים ב פרק ד' פסוק ד' עוֹמֵ֞ד עַל־שְׁנֵ֧ים עָשָׂ֣ר בָּקָ֗ר שְׁלֹשָׁ֣ה פֹנִ֣ים׀ צָפ֡וֹנָה וּשְׁלוֹשָׁה֩ פֹנִ֨ים׀ יָ֜מָּה וּשְׁלֹשָׁ֣ה׀ פֹּנִ֣ים נֶ֗גְבָּה וּשְׁלֹשָׁה֙ פֹּנִ֣ים מִזְרָ֔חָה וְהַיָּ֥ם עֲלֵיהֶ֖ם מִלְמָ֑עְלָה – משמע שהבסיס שעליו עומד הים חייב להיות ריבוע שהרי על מעגל אי אפשר להעמיד 3 בקר לכל רוח. וכן כתיב דברי הימים ב פרק ד' פסוק ב' וַיַּ֥עַשׂ אֶת־הַיָּ֖ם מוּצָ֑ק עֶ֣שֶׂר בָּֽ֠אַמָּה מִשְּׂפָת֨וֹ אֶל־שְׂפָת֜וֹ עָג֣וֹל׀ סָבִ֗יב וְחָמֵ֤שׁ בָּֽאַמָּה֙ קֽוֹמָת֔וֹ וְקָו֙ שְׁלֹשִׁ֣ים בָּֽאַמָּ֔ה יָסֹ֥ב אֹת֖וֹ סָבִֽיב – משמע שהיה עגול סביב.
  3. מטענה 1ב נובע כי אם הים היה עגול כולו אזי היה מחזיק 160 ידות טהרה.
  4. נחשב את נפח הים אילו היה כולו עגול. הקוטר – 10 אמות, הרדיוס יהיה – 5 אמות, והגובה – 5 אמות, אם כן הנפח יהיה (פאי אר בריבוע כפול הגובה), 25 פאי כפול 5, שהם 392.699 אמות מעוקבות.
  5. נשים לב כי הגמרא בטענה 1ב אומרת 'ידות טהרה הוא מחזיק' ולא 'מקווה טהרה הוא מחזיק' – וההבדל בין 'מקווה טהרה' ל'ידות טהרה' הינו שמקווה טהרה הינו 40 סאה שנמדדו בסאה ציפורית עם ועוד של רבי שכל סאה הינה 212.175 ביצים וכדעת רב חסדא בתלמוד בבלי פסחים ק"ט ע"א וראה ההסבר בפוסט https://tora-forum.co.il/viewtopic.php?f=8&t=15923, והם אמה על אמה ברום 3 אמות. ואילו יד טהרה הינה 40 סאה שנמדדו בסאה ירושלמית שכל סאה הינה 173 ביצים.
  6. מטענה 5 נובע כי אם 212.175 ביצים הינן 3 אמות מעוקבות אזי 173 ביצים הינן 173 לחלק ל-212.175 כפול 3 והתוצאה 2.446 אמות מעוקבות.
  7. כעת נחלק את האמות המעוקבות שבנפח הים מטענה 4 בידות הטהרה שחישבנו בטענה 6, ונקבל 392.699 לחלק ל-2.446 והתוצאה 160.54 ידות טהרה. ובמספרים שלמים 160 ידות טהרה, כמובא בטענה 1ב וטענה 3.
  8. מטענה 1ג נובע כי אם הים היה ריבוע כולו אזי היה מחזיק 122 ידות טהרה.
  9. נחשב את נפח הים אילו היה כולו ריבוע. הקוטר – 10 אמות, אם כן אלכסון הריבוע החסום במעגל – 10 אמות, לכן צלע הריבוע תהיה 10 לחלק לשורש 2 והתוצאה 7.071 אמות, והגובה – 5 אמות, אם כן הנפח יהיה (הצלע בריבוע כפול הגובה), 50 כפול 5, שהם 250 אמות מעוקבות.
  10. נשים לב כי בטענה 1ב אם היה כולו עגול כתבה הגמרא 'הוא מחזיק' בהווה, ואילו בטענה 1ג אם היה כולו ריבוע כתבה הגמרא 'היה מחזיק' בעבר – ומדוע לה לגמרא לשנות? לומר לך שחשבון העגול נעשה בסאה העכשווית – סאה ירושלמית, לכן 'הוא מחזיק' בהווה ואילו החשבון לריבוע נעשה בסאה הקודמת שהיא סאה מדברית, לכן 'היה מחזיק' בעבר.
  11. נשים לב כי הגמרא בטענה 1ב אומרת 'ידות טהרה הוא מחזיק' ואילו בטענה 1ג אומרת הגמרא 'מקווה טהרה היה מחזיק' – וההבדל בין 'הוא מחזיק' ל'היה מחזיק' הינו ש'ידות טהרה הוא מחזיק' הינן ידות טהרה של 40 סאה ירושלמית, והם 2.446 אמות מעוקבות כמבואר בטענה 6. ואילו 'ידות טהרה היה מחזיק' הינן ידות טהרה של 40 סאה מדברית שכל סאה הינה 144 ביצים.
  12. מטענה 11 נובע כי אם 173 ביצים הינן 2.446 אמות מעוקבות אזי 144 ביצים הינן 144 לחלק ל-173 כפול 2.446 והתוצאה 2.036 אמות מעוקבות.
  13. כעת נחלק את האמות המעוקבות שבנפח הים מטענה 9 בידות הטהרה שחישבנו בטענה 12, ונקבל 250 לחלק ל-2.036 והתוצאה 122.78 ידות טהרה. ובמספרים שלמים 122 ידות טהרה, כמובא בטענה 1ג וטענה 8.
  14. מטענה 1ד נובע כי אם הים היה 2 אמות עליונות עגול ו-3 אמות תחתונות ריבוע אזי נקבל כי היה מחזיק 150 ידות טהרה.
  15. מטענה 7 נובע כי אם הים היה כולו עגול נפחו היה 392.699 אמות מעוקבות, משמע שאם רק 2 אמות מתוך ה-5 עגולות אזי נפחן יהיה 2 לחלק ל-5 כפול 392.699 והתוצאה 157.079 אמות מעוקבות.
  16. מטענה 9 נובע כי אם הים היה כולו ריבוע נפחו היה 250 אמות מעוקבות, משמע שאם רק 3 אמות מתוך ה-5 ריבועיות אזי נפחן יהיה 3 לחלק ל-5 כפול 250 והתוצאה 150 אמות מעוקבות.
  17. מטענה 15 וטענה 16 נובע כי הנפח של הים המתואר בטענה 1ד יהיה 157.079 ועוד 150 והתוצאה 307.079 אמות מעוקבות.
  18. נשים לב כי בטענה 1ד כתבה הגמרא 'היה מחזיק' ולפי טענה 11 וטענה 12 משמע שמודדים בידות טהרה שהם 40 סאה בסאה מדברית שהם 2.036 אמות מעוקבות.
  19. כעת נחלק את האמות המעוקבות שבנפח הים מטענה 17 בידות הטהרה שחישבנו בטענה 18, ונקבל 307.079 לחלק ל-2.036 והתוצאה 150.82 ידות טהרה. ובמספרים שלמים 150 ידות טהרה, כמובא בטענה 1ד וטענה 14.
נמצאנו למדים שהחשבון מדוייק להפליא מאחר שחכמים ידעו את π בדיוק מושלם.
נמצאנו למדים שההיקף של ים של שלמה היה 10π אמות כפי המציאות ולא 30 אמה, שהרי 30 אמה הינה מידת הקו ולא מידת ההיקף וראה
https://tora-forum.co.il/viewtopic.php?f=82&t=15998

נמצאנו למדים שכאשר אומרים מידת נפח, סוג הסאה (מדברית או ירושלמית או ציפורית או ציפורית ועוד ה'ועוד' של רבי) נלמד מהעניין עצמו.
 

אבי חי

משתמש ותיק
סתם יעקב אמר:
11. נשים לב כי הגמרא בטענה 1ב אומרת 'ידות טהרה הוא מחזיק' ואילו בטענה 1ג אומרת הגמרא 'מקווה טהרה היה מחזיק' – וההבדל בין 'הוא מחזיק' ל'היה מחזיק' הינו ש'ידות טהרה היה מחזיק' הינן ידות טהרה של 40 סאה ירושלמית, והם 2.446 אמות מעוקבות כמבואר בטענה 6. ואילו 'ידות טהרה היה מחזיק' הינן ידות טהרה של 40 סאה מדברית שכל סאה הינה 144 ביצים.
כמדומה שטענה זו צריכה תיקון.

יישר כחכם, הדברים נחמדים מאד.
 

HaimL

משתמש ותיק
טענה 2 לא כל כך ברורה. וכי אי אפשר לצמצם 3 בקר בארבע קשתות של המעגל, כך שכל קשת פונה לרוח אחרת מהרוחות ?
 

סתם יעקב

משתמש ותיק
פותח הנושא
HaimL אמר:
טענה 2 לא כל כך ברורה. וכי אי אפשר לצמצם 3 בקר בארבע קשתות של המעגל, כך שכל קשת פונה לרוח אחרת מהרוחות ?
תודה, אכן טענה חלשה. ובכל זאת ההוכחה בעינה עומדת.
ובמחשבה שניה אולי אפשר לומר - שמוכיחים זאת כך: נאמר 'משפתו אל שפתו' כלומר משפה אחת לשפה שנייה במעגל ישנה רק שפה אחת עגולה לכן לא מתקיים 'משפתו אל שפתו', ואם היה מעגל היה לו לומר 'שפתו עשר באמה'. והגוף הגיאומטרי בעל השפות הקטן ביותר שיכול להתקיים בו 'משפתו אל שפתו' הינו מרובע. (במשולש לא מתקיים משפתו אל שפתו שהרי אין במשולש שתי שפות מקבילות)

 
 

HaimL

משתמש ותיק
סתם יעקב אמר:
HaimL אמר:
טענה 2 לא כל כך ברורה. וכי אי אפשר לצמצם 3 בקר בארבע קשתות של המעגל, כך שכל קשת פונה לרוח אחרת מהרוחות ?
תודה, אכן טענה חלשה. ובכל זאת ההוכחה בעינה עומדת.
ובמחשבה שניה אולי אפשר לומר - שמוכיחים זאת כך: נאמר 'משפתו אל שפתו' כלומר משפה אחת לשפה שנייה במעגל ישנה רק שפה אחת עגולה לכן לא מתקיים 'משפתו אל שפתו', ואם היה מעגל היה לו לומר 'שפתו עשר באמה'. והגוף הגיאומטרי בעל השפות הקטן ביותר שיכול להתקיים בו 'משפתו אל שפתו' הינו מרובע. (במשולש לא מתקיים משפתו אל שפתו שהרי אין במשולש שתי שפות מקבילות)
גם במרובע יש שפה אחת, מבחינה טופולוגית. אלא מה, אתה מפרש "שפה" כצלע. אבל אולי, אם כך, ניתן לפרש "שפה" כקשת.
 
 

סתם יעקב

משתמש ותיק
פותח הנושא
HaimL אמר:
סתם יעקב אמר:
HaimL אמר:
טענה 2 לא כל כך ברורה. וכי אי אפשר לצמצם 3 בקר בארבע קשתות של המעגל, כך שכל קשת פונה לרוח אחרת מהרוחות ?
תודה, אכן טענה חלשה. ובכל זאת ההוכחה בעינה עומדת.
ובמחשבה שניה אולי אפשר לומר - שמוכיחים זאת כך: נאמר 'משפתו אל שפתו' כלומר משפה אחת לשפה שנייה במעגל ישנה רק שפה אחת עגולה לכן לא מתקיים 'משפתו אל שפתו', ואם היה מעגל היה לו לומר 'שפתו עשר באמה'. והגוף הגיאומטרי בעל השפות הקטן ביותר שיכול להתקיים בו 'משפתו אל שפתו' הינו מרובע. (במשולש לא מתקיים משפתו אל שפתו שהרי אין במשולש שתי שפות מקבילות)
גם במרובע יש שפה אחת, מבחינה טופולוגית. אלא מה, אתה מפרש "שפה" כצלע. אבל אולי, אם כך, ניתן לפרש "שפה" כקשת.
שפה = פאה. https://milog.co.il/%D7%A9%D7%A4%D7%94
בקוביה יש 6 פיאות. בים של שלמה מרובע יהיה 5 פאות, שאחת מהן הקרקע.
בגליל יש 3 פיאות. בים של שלמה גליל יהיה 2 פאות, שאחת מהן הקרקע - לכן אין 'משפתו אל שפתו'

 
 

HaimL

משתמש ותיק
סתם יעקב אמר:
HaimL אמר:
סתם יעקב אמר:
גם במרובע יש שפה אחת, מבחינה טופולוגית. אלא מה, אתה מפרש "שפה" כצלע. אבל אולי, אם כך, ניתן לפרש "שפה" כקשת.
שפה = פאה. https://milog.co.il/%D7%A9%D7%A4%D7%94
בקוביה יש 6 פיאות. בים של שלמה מרובע יהיה 5 פאות, שאחת מהן הקרקע.
בגליל יש 3 פיאות. בים של שלמה גליל יהיה 2 פאות, שאחת מהן הקרקע - לכן אין 'משפתו אל שפתו'
באותו ערך גם כתוב "החלק החיצוני התוחם", שלמעשה משמעותו שאפשר לומר שלכל הצורות ישנה שפה אחת (קו תוחם, שיכול להיות עקומה, או מצולע). ולכל הגופים ישנה שפה אחת (משטח, שיכול להיות משטח כדורי, או בעל פיאות). ולפי הנ"ל המילה "שפה" שבפסוק לא באה לתאר צלע או פאה (שהרי, לפי ההגדרה האחרת, יש רק שפה אחת לכל צורה או גוף), אלא פשוט רק קצה מסוים של השפה ובמקרה של מעגל, קשת מסוימת על המעגל
 
 

HaimL

משתמש ותיק
HaimL אמר:
סתם יעקב אמר:
HaimL אמר:
גם במרובע יש שפה אחת, מבחינה טופולוגית. אלא מה, אתה מפרש "שפה" כצלע. אבל אולי, אם כך, ניתן לפרש "שפה" כקשת.
שפה = פאה. https://milog.co.il/%D7%A9%D7%A4%D7%94
בקוביה יש 6 פיאות. בים של שלמה מרובע יהיה 5 פאות, שאחת מהן הקרקע.
בגליל יש 3 פיאות. בים של שלמה גליל יהיה 2 פאות, שאחת מהן הקרקע - לכן אין 'משפתו אל שפתו'
באותו ערך גם כתוב "החלק החיצוני התוחם", שלמעשה משמעותו שאפשר לומר שלכל הצורות ישנה שפה אחת (קו תוחם, שיכול להיות עקומה, או מצולע). ולכל הגופים ישנה שפה אחת (משטח, שיכול להיות משטח כדורי, או בעל פיאות). ולפי הנ"ל המילה "שפה" שבפסוק לא באה לתאר צלע או פאה (שהרי, לפי ההגדרה האחרת, יש רק שפה אחת לכל צורה או גוף), אלא פשוט רק קצה מסוים של השפה ובמקרה של מעגל, קשת מסוימת על המעגל
"החלק הקיצוני התוחם", ליתר דיוק.
 
 

סתם יעקב

משתמש ותיק
פותח הנושא
HaimL אמר:
סתם יעקב אמר:
HaimL אמר:
גם במרובע יש שפה אחת, מבחינה טופולוגית. אלא מה, אתה מפרש "שפה" כצלע. אבל אולי, אם כך, ניתן לפרש "שפה" כקשת.
שפה = פאה. https://milog.co.il/%D7%A9%D7%A4%D7%94
בקוביה יש 6 פיאות. בים של שלמה מרובע יהיה 5 פאות, שאחת מהן הקרקע.
בגליל יש 3 פיאות. בים של שלמה גליל יהיה 2 פאות, שאחת מהן הקרקע - לכן אין 'משפתו אל שפתו'
באותו ערך גם כתוב "החלק החיצוני התוחם", שלמעשה משמעותו שאפשר לומר שלכל הצורות ישנה שפה אחת (קו תוחם, שיכול להיות עקומה, או מצולע). ולכל הגופים ישנה שפה אחת (משטח, שיכול להיות משטח כדורי, או בעל פיאות). 'החלק החיצוני התוחם' משמעותו שיש חלק חיצוני שהוא תוחם כמו שפת המדרכה שהם אבני השפה שהם תוחמים את המדרכה אי אפשר לומר שלגוף גיאומטרי ישנה רק שפה אחת - אותה שפה האחת (לשיטתך) היא מעטפת, ולמעטפת לא קוראים שפה, לכן שפה של גוף גיאומטרי הינה הפאה  ולפי הנ"ל המילה "שפה" שבפסוק לא באה לתאר צלע או פאה (שהרי, לפי ההגדרה האחרת, יש רק שפה אחת לכל צורה או גוף), אלא פשוט רק קצה מסוים של השפה ובמקרה של מעגל, קשת מסוימת על המעגל

 
 
חלק עליון תַחתִית