האם היה לכהנים קרקע בבית שני

תוספות בכתובות (כו. ד"ה בתר) כתבו בתו"ד, שלכהנים לא היה קרקע ולכך היו פנויים ללכת לשדות לקחת מעשר ראשון, וראיתי בהעמק דבר (במדבר יח יג) שהקשה עליו שהרי בבית שני היה לכהנים וללויים קרקע שהרי לא נתחלקה הארץ.
אשמח אם יוכל והרבנים החשובים להעשיר את ידיעתי בנושא זה, אם היה להם קרקע או לא.
ישר כח!

האם ההודעה כל כך לא מעניינת שאף אחד מחשובי הלומדים לא טרח לסייע בעדי?